Suites récurrentes d'ordre 1

Visualisez la construction en escalier d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ grâce à la droite $y = x$. Ajustez le terme initial $u_0$ et le nombre d'itérations pour analyser pas à pas sa convergence et l'écart entre deux termes.

Fonction $f(x)$ :

f(x) =

Exemples :

$u_0$ :

Itérations $n$ :

$u_n$

Écart $|u_{n+1}-u_n|$

Comportement

Construction pas à pas

On se donne une suite définie par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ avec un premier terme $u_0$. Dans un repère, on trace la courbe $y = f(x)$ et la droite $y = x$ (première bissectrice, en pointillés).

Partant du point $(u_0, u_0)$ sur la droite $y = x$ : un segment vertical atteint la courbe au point $(u_n, f(u_n))$, puis un segment horizontal ramène sur la droite $y = x$ en $(u_{n+1}, u_{n+1})$, et on recommence.

Escalier : lorsque $f$ est croissante au voisinage du point fixe (comme $\sqrt{x}$ ou $0{,}5x+1$), les segments forment des marches d'escalier qui se rapprochent de l'intersection de la courbe avec la droite $y = x$.

Serpentin (cobweb) : lorsque $f$ est décroissante ou de pente négative, les segments tournent autour du point fixe en formant une spirale.