Terminale / Prépa
Analyse
Ewen D.
Ewen D.
Equations Differentielles
Visualisez le champ de pentes d'une équation différentielle $y' = f(x,y)$ et tracez les solutions en définissant vos conditions initiales d'un clic.
Petite pente
Grande pente
f(x,y) =
y
Résolution par Runge-Kutta 4 (pas = 0.01)
Rappel théorique
Une équation différentielle du premier ordre $y' = f(x, y)$ admet une famille de solutions paramétrée par la condition initiale $y(x_0) = y_0$.
Le champ de pente associe à chaque point $(x, y)$ un segment de pente $f(x, y)$. Les solutions sont les courbes tangentes à ce champ.
Le théorème de Peano-Cauchy garantit l'existence d'une solution lorsque $f$ est continue. L'unicité est assurée si $f$ est lipschitzienne en $y$.
La méthode numérique de Runge-Kutta d'ordre 4 est utilisée ici pour tracer les solutions :
$$k_1 = hf(x_n, y_n),\quad k_2 = hf(x_n + \tfrac{h}{2}, y_n + \tfrac{k_1}{2})$$
$$k_3 = hf(x_n + \tfrac{h}{2}, y_n + \tfrac{k_2}{2}),\quad k_4 = hf(x_n + h, y_n + k_3)$$
$$y_{n+1} = y_n + \tfrac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$$