Ewen D.
Méthode de Newton
Approchez les racines d'une fonction $f$ par la méthode de Newton. Choisissez la valeur initiale $x_0$ et suivez pas à pas la convergence des itérations $x_n$ et de l'erreur..
La méthode de Newton-Raphson
1. Principe
On cherche une racine de $f(x) = 0$, c'est-à-dire une valeur $\alpha$ telle que $f(\alpha) = 0$. On part d'un point de départ $x_0$ et on construit une suite d'approximations par la tangente.
2. Formule de récurrence
À chaque étape, on trace la tangente à la courbe au point $(x_n, f(x_n))$. Le point où cette tangente coupe l'axe des abscisses donne $x_{n+1}$ :
$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$On utilise ici une dérivée numérique centrée : $f'(x) \approx \dfrac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$ avec $h = 10^{-5}$.
3. Interprétation géométrique
La tangente en $A_n(x_n, f(x_n))$ a pour équation $y = f'(x_n)(x - x_n) + f(x_n)$. En posant $y = 0$, on obtient $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.
Chaque itération « suit la tangente » jusqu'à l'axe des $x$, puis remonte sur la courbe.
4. Convergence
Lorsque $f'(x_n) \neq 0$ et que $x_0$ est « assez proche » d'une racine simple $\alpha$, la convergence est quadratique : le nombre de chiffres significatifs double environ à chaque itération.
Attention : la méthode peut échouer si $f'(x_n) \approx 0$ (point d'inflexion) ou si $x_0$ est trop éloigné de la racine.