Nombre dérivé

Observez la transition de la sécante à la tangente en faisant tendre $h$ vers $0$. Modifiez $a$ et $h$ pour comparer le taux de variation au nombre dérivé $f'(a)$ et suivre leur écart en temps réel.

Fonction $f(x)$ :

f(x) =

Exemples :

$a$ :

$h$ :

Taux $\tau = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Nombre dérivé $f'(a)$

Écart $|\tau - f'(a)|$

Du taux de variation au nombre dérivé

1. Taux de variation (la sécante)

Entre $A(a, f(a))$ et $M(a+h, f(a+h))$, le taux de variation mesure la pente de la sécante $(AM)$ :

$$\tau(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

2. Nombre dérivé (la limite)

Lorsque $h$ tend vers $0$, le point $M$ se rapproche de $A$. La limite du taux de variation donne le nombre dérivé en $a$ :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

3. Interprétation géométrique (la tangente)

À la limite, la sécante devient la tangente à la courbe au point $A$.

• Coefficient directeur : $f'(a)$
• Équation de la tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$

Pourquoi utiliser une limite ?
Remplacer directement $h$ par $0$ produit la forme interdite $\frac{0}{0}$. La limite permet d'analyser la tendance quand $h$ s'approche de $0$ sans l'atteindre.