Loi Binomiale & Planche de Galton

Simulation du tirage répétitif de $n$ épreuves de Bernoulli, coefficients binomiaux et convergence vers la loi normale.

$n$ (niveaux) 8

$p$ (probabilité) 0.50

Vitesse

Billes tombées

$\mathbb{E}[X]$

4.00

$\mathrm{Var}(X)$

2.00

$\sigma$

1.41

Rappel théorique

La loi binomiale $B(n, p)$ modélise le nombre de succès $X$ dans $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune de probabilité $p$ :

$$\mathbb{P}(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

L'espérance et la variance sont :

$$\mathbb{E}[X] = np \qquad \mathrm{Var}(X) = np(1-p)$$

La Planche de Galton illustre visuellement la loi binomiale : chaque bille percute un clou et tombe à gauche (probabilité $p$) ou à droite (probabilité $1-p$). Le nombre de chemins possibles vers la case $k$ est $\binom{n}{k}$.

Par le théorème central limite, lorsque $n$ est grand, la distribution converge vers une loi normale $\mathcal{N}(np,\, np(1-p))$.